Ce que votre page fait très bien
Une page Facebook ou un compte Instagram actif, c'est votre lien avec les gens qui vous connaissent déjà : vos habitués voient vos nouveautés, vos horaires exceptionnels, vos photos du jour. C'est gratuit, c'est vivant, et il faut le garder. Rien ne remplace ce canal pour entretenir une clientèle.
Le problème n'est pas ce que la page fait. C'est ce qu'elle ne fera jamais.
Ce que votre page ne fera jamais
Quand quelqu'un qui ne vous connaît pas cherche « coiffeur », « garage » ou « institut » avec le nom de sa commune, il cherche sur Google. Et Google ne met pas les pages Facebook en avant : il montre les fiches Google et les sites. Votre page est invisible exactement au moment où un nouveau client vous cherche.
Ensuite, une page ne vous appartient pas. Un compte bloqué, un piratage, un changement de règles, et des années de publications deviennent inaccessibles, avec votre clientèle dedans. Enfin, une page mélange tout : le visiteur doit fouiller vos publications pour trouver un prix ou un horaire, quand un site le lui donne en un écran.
La bonne réponse : les deux, chacun son rôle
La question « site OU page » est mal posée. Le site capte les inconnus qui cherchent sur Google et leur donne l'essentiel en dix secondes : qui vous êtes, ce que vous faites, vos prix, comment venir ou réserver. La page entretient ceux qui vous suivent. Le site renvoie vers la page, la page renvoie vers le site : chaque maillon fait son travail.
Concrètement, pour un commerce local, un site d'une page bien faite suffit largement à jouer ce rôle. C'est exactement ce qu'on construit : 500 € une fois, 50 € par an, et votre page Facebook continue de vivre à côté, en mieux accompagnée.